Die Juni-Ausgabe von Spektrum der Wissenschaft widmet sich u.a. dem
Thema, wie man versuchen kann Fehler und Fehlentscheidung mit Hilfe
abstrakter Mathematik einzugrenzen.
Nachfolgend veröffentlichen wir - mit freundlicher Genehmigung des Spektrum-Verlags - einen Ausschnitt des Artikels. Weitere Informationen erhalten Sie in der Juni-Ausgabe von Spektrum der Wissenschaft oder im Internet unter http://www.wissenschaft-online.de
"Was tun unter Ungewissheit? Das kann man unter gewissen Umständen
buchstäblich ausrechnen. Die abstrakte Mathematik findet Anwendung auf
erstaunlich viele Situationen des echten Lebens.
Wer zu spät kommt, den bestraft das Leben - aber wer zu früh kommt,
den belohnt es auch nicht besonders. Spät kommen, aber nicht zu spät,
heißt die Devise. Die letzte unter vielen Gelegenheiten ist die, auf
die es ankommt, denn wer zu früh zugreift, könnte ja eine spätere,
noch bessere Gelegenheit verpassen.
Das romantischste Beispiel für diese Situation ist die Prinzessin, die
einen Freier nach dem anderen verschmäht, weil ja noch ein besserer
kommen könnte, und am Ende vielleicht als alte Jungfer versauert. Aber
die Frage stellt sich durchaus im echten Leben: Soll man das
gegenwärtige Kreditangebot annehmen, den nur heute zum Verkauf
stehenden Gebrauchtwagen kaufen, seine Aktien behalten oder abstoßen?
Thomas Bruss, Professor für Mathematik an der Université Libre de
Bruxelles, hat auf solche Fragen eine definitive Antwort. Wohlgemerkt
nicht etwa, weil er den Kredit-, Gebrauchtwagen- oder Aktienmarkt
besonders intensiv studiert hätte; nein, es ist die reine Mathematik,
aus der er eine - ziemlich einfache - Rechenvorschrift herleitet. Das
scheint merkwürdig: Kommt es denn nicht auf die Einzelheiten des
Falles an? Die überraschende Antwort ist: Weniger, als man denkt. Aber
um dem Prinzip auf die Spur zu kommen, ist es besser, zuerst über ein
realitätsfernes Spiel nachzudenken, das jedoch eine besonders klare
mathematische Struktur hat.
In seinem Artikel in der neuesten Ausgabe von "Spektrum der
Wissenschaft" stellt Bruss uns dieses Spiel vor: Ein Würfel wird
zwölfmal geworfen. Wenn eine Sechs fällt, dürfen Sie den Finger heben.
Wenn die Sechs, bei der Sie den Finger gehoben haben, die letzte
überhaupt war, haben Sie gewonnen; andernfalls - insbesondere wenn
Sie überhaupt nicht den Finger heben oder gar keine Sechs kommt -
gewinnt die Bank. Mit welcher Strategie können Sie die maximale
Gewinnwahrscheinlichkeit herausholen?
Das kann man im Prinzip ausrechnen. Die Menge aller möglichen Folgen
von zwölf Würfen ist zwar groß, aber überschaubar; man bestimme für
jede denkbare Strategie die Erfolgsrate und finde dadurch unter allen
Strategien die optimale. Am Ende steht eine klare Handlungsanweisung:
Man warte bis zum fünftletzten Wurf und hebe bei der ersten Sechs, die
dann fällt, den Finger.
Dieses Ergebnis erfordert ein paar geniale Tricks, damit die Rechnerei
nicht ausufert; aber dass überhaupt eine klare Anweisung herauskommt,
ist wenig verwunderlich. Die Anzahl der Würfe ist vorab bekannt,
ebenso die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs. Vor allem ist von
vornherein klar, was eine Gelegenheit ist: eine Sechs und sonst gar
nichts. Im echten Leben dagegen weiß man nicht, wie viele
Interessenten für die Villa, die man verkaufen will, noch vorsprechen
werden, ob das gegenwärtige Angebot überhaupt eine gute Gelegenheit
ist und wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass sich doch noch etwas
Besseres findet. Wie soll man bei so vielen Unbekannten noch eine
brauchbare Strategie finden?
Die Antwort ist wieder überraschend einfach. Man nutze die Freiheit,
die man bei der mathematischen Modellierung der Wirklichkeit hat. Der
Verkäufer der Villa weiß nicht, was der Markt hergibt; aber er nennt
einfach jedes Angebot, das alle bisherigen übertrifft, eine
"Gelegenheit". Dann ist die letzte Gelegenheit per definitionem das
höchste aller Angebote überhaupt, und die gilt es zu ergreifen. Wie
hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das nächste Angebot eine
Gelegenheit ist? Wieder ist für eine gute Antwort darauf keine
Marktkenntnis erforderlich. Man muss nur unterstellen, dass die
Reihenfolge, in der die Angebote eingehen, von nichts als dem Zufall
bestimmt wird. Schon kann man die Wahrscheinlichkeiten ausrechnen und
die Bruss'sche Strategie anwenden.
Das funktioniert selbst bei jenen höchst problematischen
Entscheidungssituationen, in denen es um Leben oder Tod geht. Ein
neues medizinisches Behandlungsverfahren hat so schlimme
Nebenwirkungen, dass man es den Patienten nur antun will, wenn eine
hinreichende Erfolgsaussicht besteht. Anstelle des Zuschlags für das
beste Angebot geht es also hier darum, die Versuchsreihe rechtzeitig
zu beenden, um nicht weitere Patienten unnötigen Qualen auszusetzen.
Nur ist hier gerade die wichtigste Größe unbekannt, nämlich die
Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg; das Verfahren ist ja neu und soll
erst erprobt werden. Aber eine Variante der Bruss'schen Strategie
funktioniert trotzdem: Man nutze die bisherigen Erfahrungen, um die
Erfolgswahrscheinlichkeit zunehmend besser einzuschätzen, und mache
diesen Schätzwert zur Grundlage für die Entscheidung.
Eine noch so gute Strategie kann einen Entscheider nicht vor
Misserfolgen bewahren; das ist immer so bei Entscheidungen unter
Unsicherheit. Aber Bruss kann beweisen, dass seine Strategie optimal
ist: Es gibt keine bessere. Das immerhin erspart einem die
Selbstvorwürfe nach dem Fehlschlag - und wenn es hart auf hart kommt,
auch die Vorwürfe des Staatsanwalts. Auch vom juristischen Standpunkt
aus sollte man jeder anwendbaren optimalen Strategie ein besonderes
Interesse entgegenbringen." (Quelle: Spektrum der Wissenschaft 6/2005)
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